Версия для печати
Убрать все задачи

---

Внутри параллелограмма ABCD выбрана точка Р так, что  ∠АРВ + ∠СРD = 180°.  Докажите, что  ∠РВC = ∠РDC.

   Решение

---

а) Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — ее диаметр. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.
б) В окружности проведены перпендикулярные диаметры AB и CD. Из точки M, лежащей вне окружности, проведены касательные к окружности, пересекающие прямую AB в точках E и H, а также прямые MC и MD, пересекающие прямую AB в точках F и K. Докажите, что EF = KH.

   Решение

---

Числа x, y, z удовлетворяют равенству  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65736

Темы:   [ Инварианты ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f₁ и g₁, что  f + g = f₁ + g₁  или  fg = f₁g₁.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67026

Темы:   [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Дан многочлен степени 2022 с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1. Какое наибольшее число корней он может иметь на интервале  (0, 1)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77966

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Теорема Виета ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Докажите, что ни при каком целом A многочлен  3x²ⁿ + Axⁿ + 2  не делится на многочлен  2x^2m + Ax^m + 3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61145

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Докажите, что при нечётном  n > 1  справедливо равенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107863

Темы:   [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9,10

Числа x, y, z удовлетворяют равенству  x + y + z – 2(xy + yz + xz) + 4xyz = ½.  Докажите, что хотя бы одно из них равно ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 49]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями