ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61078
Темы:    [ Тождественные преобразования ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
Сложность: 2
Классы: 7,8,9,10,11
Название задачи: Тождество Диофанта.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите равенство   (a2 + b2)(u2 + v2) = (au + bv)2 + (av – bu)2.


Решение 1

(a2 + b2)(u2 + v2) = a2u2 + b2u2 + a2v2 + b2v2 = (a2u2 + 2abuv + b2v2) + (b2u2 – 2abuv + a2v2) = (au + bv)2 + (bu – av)2.


Решение 2

Рассмотрим комплексные числа  z = a + bi,  w = u – vi.  Тогда доказываемое равенство превращается в очевидное  |z|2|w|2 = |zw|2

Замечания

Аналогично решению 1 доказывается и равенство   (a2b2)(u2v2) = (au + bv)2 – (av + bu)2 = (au – bv)2 – (av – bu)2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.014

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .