Пусть M и N — середины оснований трапеции. Докажите, что если прямая MN перпендикулярна основаниям, то трапеция — равнобедренная.

   Решение

Игра в "супершахматы" ведётся на доске размером 30×30, и в ней участвуют 20 разных фигур, каждая из которых ходит по своим правилам. Известно, однако, что
  1) любая фигура с любого поля бьёт не более 20 полей и
  2) если фигуру сдвинуть на несколько полей, то битые поля соответственно сдвигаются (может быть, исчезают за пределы поля).
Докажите, что
  а) любая фигура F бьёт данное поле Х не более, чем с 20 полей;
  б) можно расставить на доске все 20 фигур так, чтобы ни одна из них не била другую.

   Решение

В ромбе ABCD угол при вершине A равен 60°. Точка N делит сторону AB в отношении  AN : BN = 2 : 1.  Найдите тангенс угла DNC.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 77]      

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170^o .

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны четыре точки, не лежащие на одной прямой. Докажите, что существует неостроугольный треугольник с вершинами в этих точках.

Прислать комментарий

Решение

В некотором городе каждая улица идет либо с севера на юг, либо с востока на запад. Автомобилист совершил прогулку по этому городу, сделав ровно сто поворотов налево. Сколько поворотов направо он мог сделать при этом, если никакое место он не проезжал дважды и в конце вернулся назад?

Прислать комментарий

Решение

Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Точки M и N – середины сторон AB и CD. Известно, что  IM : AB = IN : CD.
Докажите, что ABCD – трапеция или параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 77]