Задача 108181

Темы:    [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Галочкин А.И.

Докажите, что в любом выпуклом многоугольнике имеется не более 35 углов, меньших 170^o .

Решение

Допустим, что это не так. Тогда в некотором выпуклом n -угольнике есть не менее 36 углов, меньших 170^o (остальные n-36 углов не превосходят 180^o ). Сумма всех углов выпуклого n -угольника равна 180^o(n-2) . Следовательно,

180^o(n-2) < 170^o· 36 + 180^o(n-36),
т.е. 180· 34 < 170· 36 , или 6120 < 6120 , что невозможно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6528
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	59
Год	1996
вариант
Класс	9
задача
Номер	1