Версия для печати
Убрать все задачи

---

Есть пять батареек, из которых три заряжены, а две разряжены. Фотоаппарат работает от двух заряженных батареек. Покажите, как за четыре попытки можно гарантированно включить фотоаппарат.

   Решение

---

Пусть A₁...A_n — правильный n-угольник, X — произвольная точка. Рассмотрим проекции X₁, ..., X_n точки X на прямые A₁A₂, ..., A_nA₁. Пусть x_i — длина отрезка A_iX_i с учётом знака (знак плюс берётся в случае, когда лучи A_iX_i и A_iA_{i + 1} сонаправлены). Докажите, что сумма x₁ + ... + x_n равна половине периметра многоугольника A₁...A_n.

   Решение

---

Клетчатую доску $20\times 20$ разбили на двухклеточные доминошки. Докажите, что некоторая прямая содержит центры хотя бы десяти из этих доминошек.

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66851  (#1)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10,11

Существует ли число, кратное 2020, в котором всех цифр 0, 1, 2, ..., 9 поровну?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66852  (#2)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66853  (#3)

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если
  а)  $N$ = 19;
  б)  $N$ = 20?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66854  (#4)

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Числовые таблицы и их свойства ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Для каких $N$ можно расставить в клетках квадрата N×N действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до $2(N - 1)N$ включительно (ровно по одному разу)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66855  (#5)

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями