ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66855
Темы:    [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Юран А.Ю.

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

Решение

Решение 1.

Пусть $DH$ – высота трапеции, тогда $ADCH$ – параллелограмм. Пусть $M$ – его центр. Тогда $KM$ – серединный перпендикуляр к диагонали $AC$. По теореме об угле между хордой и касательной $\angle KAD=\angle ABD=\angle BAC=\angle KMD$ (последние два угла – углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Значит, точки $A$, $K$, $D$ и $M$ лежат на одной окружности, откуда $\angle KDA=\angle KMA=90^{\circ}$.

Решение 2.

Проведём высоту $CY$. Треугольники $ADY$ и $AKC$ равнобедренные и подобны (угол $KAC$, как угол между касательной и хордой, равен углу $DAY$, опирающемуся на такую же дугу). Тогда подобны и треугольники $ADK$ и $AYC$ (аналогично, равны углы $KAD$ и $CAY$, а $KA : AC=DA : AY$ в силу первого подобия). Следовательно, $\angle ADK=90^{\circ}$.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .