Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице 10×10 расставлены целые числа, причём каждые два числа в соседних клетках отличаются не более чем на 5.
Докажите, что среди этих чисел есть два равных.

   Решение

---

По мнению Тани, в идеальном кофейном напитке должно быть ровно в 9 раз больше кофе, чем молока. У Глеба есть стакан и кружка, а также целая цистерна молока и огромная турка с неограниченным запасом кофе. Аккуратный Глеб может отпить ровно половину содержимого кружки или стакана. Как Глебу приготовить для Тани целый стакан идеального кофейного напитка, если точный объём кружки неизвестен, но он как минимум на $10\%$ больше объёма стакана? Глеб может наливать кофе и молоко в стакан или в кружку, может выливать содержимое, переливать из кружки в стакан или наоборот, отпивать половину содержимого любое конечное количество раз.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66933  (#21 [10-11 кл])

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Теорема Птолемея ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Построения с помощью вычислений ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Диагонали вписанно-описанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $L$. Даны три отрезка, равные $AL$, $BL$, $CL$. Восстановите четырехугольник с помощью циркуля и линейки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66934  (#22 [10-11 кл])

Темы:   [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Радикальная ось ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дан вписанный в окружность $\Omega$ четырехугольник $ABCD$. На диагонали $AC$ берутся пары точек $P$, $Q$ таких, что лучи $BP$ и $BQ$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$. Найдите геометрическое место центров окружностей $PDQ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66935  (#23 [10-11 кл])

Тема:   [ Невыпуклые многоугольники ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Назовем почти выпуклым несамопересекающийся многоугольник, у которого ровно один внутренний угол больше $180^\circ$.

На плоскости даны $1000000$ точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Может ли оказаться, что существует ровно десять различных почти выпуклых $1000000$-угольников с вершинами в этих точках?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66936  (#24 [11 кл])

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ] [ Сфера, описанная около тетраэдра ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Вневписанные окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями