Условие
Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?
Решение
Рассмотрим плоскость, проходящую через прямую $AIJ$ и перпендикулярную плоскости $BCD$. Она пересекает обе сферы по большим окружностям. Пусть касательные из $A$ к этим окружностям пересекают плоскость $BCD$ в точках $X$ и $Y$. Тогда $I$ и $J$ – центры вписанной и вневписанной окружностей треугольника $AXY$, значит, середина отрезка $IJ$ лежит на дуге $XY$ описанной около этого треугольника окружности. Но точки $X$, $Y$ лежат внутри описанной около тетраэдра сферы, следовательно, дуга $XY$ также лежит внутри нее, и $IK > IJ/2 > JK$.
Ответ
$IK$.
Источники и прецеденты использования
