ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



Задача 66469  (#4)

Темы:   [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Андрей Степанович каждый день выпивает столько капель валерьянки, сколько в этом месяце уже было солнечных дней (включая текущий день). Иван Петрович каждый пасмурный день выпивает количество капель валерьянки, равное номеру дня в месяце, а в солнечные дни не пьет. Докажите, что если в апреле ровно половина дней будет пасмурные, а другая половина – солнечные, то Андрей Степанович и Иван Петрович выпьют за месяц поровну валерьянки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66475  (#4)

Темы:   [ Общие четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66471  (#4)

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

На сторонах выпуклого шестиугольника ABCDEF во внешнюю сторону построены равносторонние треугольники ABC1, BCD1, CDE1, DEF1, EFA1 и FAB1. Оказалось, что треугольник B1D1F1 – равносторонний. Докажите, что треугольник A1C1E1 также равносторонний.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66487  (#4)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Гичев В.М.

Можно ли представить число $11^{2018}$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66493  (#4)

Тема:   [ Треугольники (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$, проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные значения величины угла $B$.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .