ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 66472  (#1)

Тема:   [ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В строку выписано 81 ненулевое число. Сумма любых двух соседних чисел положительна, а сумма всех чисел отрицательна. Каким может быть знак произведения всех чисел?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66473  (#2)

Темы:   [ Площадь (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Площадь треугольника (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

Даны четыре палочки. Оказалось, что из любых трёх из них можно сложить треугольник, при этом площади всех четырех треугольников равны. Обязательно ли все палочки одинаковой длины?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66474  (#3)

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что для любых натуральных a1, a2, ..., ak таких, что , у уравнения не больше чем a1a2...ak решений в натуральных числах. ([x] – целая часть числа x, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее x.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 66475  (#4)

Темы:   [ Общие четырехугольники ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66476  (#5)

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Назовем расстановку n единиц и m нулей по кругу хорошей, если в ней можно поменять местами соседние нуль и единицу так, что получится расстановка, отличающаяся от исходной поворотом. При каких натуральных n, m существует хорошая расстановка?
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .