|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник ABCD с попарно непараллельными сторонами. На стороне AD выбирается произвольная точка P, отличная от A и D. Описанные окружности треугольников ABP и CDP вторично пересекаются в
точке Q. Докажите, что прямая PQ проходит через фиксированную точку, не зависящую от выбора точки P.
Решение
Обозначим через E точку пересечения прямых AB и CD. Рассмотрим случай, в котором точка E лежит на луче CD за точкой D. Четырехугольники CQPD и BQPA – вписанные, значит, ∠CQP = ∠EDP, а ∠PQB = ∠PAE. Сумма углов треугольника EDA равна 180° = ∠DEA + ∠EDP + ∠PAE = ∠DEA + ∠CQP + ∠PQB = ∠CEB + ∠CQB.
Следовательно, четырехугольник CQBE вписан в окружность ω – описанную окружность треугольника CBE. Обозначим через F вторую точку пересечения прямой PQ с ω. Четырехугольник QCEF – вписанный. Значит, 180° = ∠FED + ∠CQP = ∠FED + ∠EDP.
Отсюда следует, что прямые PD и FE параллельны.
Пусть l – прямая, проходящая через точку E параллельно AD. Тогда прямая PQ независимо от выбора точки P проходит через вторую точку пересечения окружности ω и прямой l. Случай, когда точка E лежит с другой стороны, разбирается аналогично.
Комментарий. То же решение можно изложить с использованием направленных углов, тогда оно без изменений будет проходить при любом расположении точек.
