ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



Задача 111348  (#4)

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Через центр O вписанной в треугольник ABC окружности проведена прямая, перпендикулярная прямой AO и пересекающая прямую BC в точке M.
Из точки O на прямую AM опущен перпендикуляр OD. Докажите, что точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111331  (#5)

Темы:   [ Системы точек и отрезков. Примеры и контрпримеры ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 6,7,8

Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 111337  (#5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111343  (#5)

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Высоты AA' и CC' остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точка B0 – середина стороны AC.
Докажите, что точка пересечения прямых, симметричных BB0 и HB0 относительно биссектрис углов B и AHC соответственно, лежит на прямой A'C'.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111349  (#5)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Станок выпускает детали двух типов. На ленте его конвейера выложены в одну линию 75 деталей. Пока конвейер движется, на станке готовится деталь того типа, которого на ленте меньше. Каждую минуту очередная деталь падает с ленты, а подготовленная кладётся в её конец. Через некоторое число минут после включения конвейера может случиться так, что расположение деталей на ленте впервые повторит начальное. Найдите  а) наименьшее такое число,  б) все такие числа.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .