ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



Задача 111332  (#6)

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111338  (#6)

Темы:   [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Равносоставленные фигуры ]
[ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111344  (#6)

Темы:   [ Раскраски ]
[ Деление с остатком ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111350  (#6)

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами. В вершине A квадрата ABCD находится нора: если в нее, в отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна. Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке (возможно, в точке A ). Вначале лиса сидит в точке C , а зайцы – в точках B и D . Лиса бегает повсюду со скоростью не больше v , а зайцы – по лучам AB и AD со скоростью не больше 1. При каких значениях v лиса сможет поймать обоих зайцев?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111351  (#7)

Темы:   [ Группы движений (самосовмещений) правильных многогранников ]
[ Наименьшая или наибольшая площадь (объем) ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Медиана пирамиды (тетраэдра) ]
[ Площадь и ортогональная проекция ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 7-
Классы: 10,11

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .