Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
У игрока есть m золотых и n серебряных монет. В начале каждого
раунда игрок ставит какие-то монеты на красное, какие-то на чёрное (можно вообще ничего не ставить на один из цветов, часть монет можно никуда не ставить). В конце каждого раунда крупье объявляет, что один из цветов выиграл. Ставку на выигравший цвет крупье отдаёт игроку, удваивая в ней количество монет каждого вида, а ставку на проигравший цвет забирает себе. Игрок хочет, чтобы монет одного вида у него стало ровно в три раза больше, чем другого (в частности, его устроит остаться совсем без денег). При каких m и n крупье не сможет ему помешать?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная
дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей
и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами
окружностей.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда
окрашена в тот же цвет.
б) При каких N такая раскраска возможна?
|
|
|
Сложность: 6-
Классы: 9,10,11
|
Игрок на компьютере управляет лисой, охотящейся за двумя зайцами.
В вершине
A квадрата
ABCD находится нора: если в нее, в
отсутствие лисы, попадает хотя бы один заяц, то игра проиграна.
Лиса ловит зайца, как только оказывается с ним в одной точке
(возможно, в точке
A ). Вначале лиса сидит в точке
C , а
зайцы – в точках
B и
D . Лиса бегает повсюду со скоростью не
больше
v , а зайцы – по лучам
AB и
AD со скоростью не
больше 1. При каких значениях
v лиса сможет поймать
обоих зайцев?
|
|
|
Сложность: 7-
Классы: 10,11
|
Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать
четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на
любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же
плоскость) исходного многогранника: а) больше,
чем
, б) не меньше, чем
, в)
не меньше, чем
?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
Фильтр
