ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 103936

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Точки A1, B1, C1 – середины сторон правильного треугольника ABC. Три параллельные прямые, проходящие через A1, B1, C1, пересекают, соответственно, прямые B1C1, C1A1, A1B1 в точках A2, B2, C2. Доказать, что прямые AA2, BB2, CC2 пересекаются в одной точке, лежащей на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103938

Темы:   [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Теорема синусов ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD существует точка K, расстояния от которой до сторон ABCD пропорциональны этим сторонам.
Доказать, что K – точка пересечения диагоналей ABCD.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103939

Темы:   [ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен α,  BC = a.  Вписанная окружность касается прямых AB и AC в точках M и P.
Найти длину хорды, высекаемой на прямой MP окружностью с диаметром BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103937

Темы:   [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD  XY имеет наименьшую длину.

Прислать комментарий     Решение

Задача 103940

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Проективные преобразования прямой ]
[ Окружность Аполлония ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .