ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 103937
Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Наибольшая или наименьшая длина ]
[ Периметр треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Прямые BC и AD пересекаются в точке O, причём B лежит на отрезке O и A на отрезке OD. I – центр вписанной окружности треугольника OAB, J – центр вневписанной окружности треугольника OCD, касающейся стороны CD и продолжений двух других сторон. Перпендикуляры, опущенные из середины отрезка IJ на прямые BC и AD, пересекают соответствующие стороны четырёхугольника (не продолжения) в точках X и Y. Доказать, что отрезок XY делит периметр четырёхугольника ABCD пополам, причём из всех отрезков с этим свойством и концами на BC и AD  XY имеет наименьшую длину.


Решение

  Используя тот факт, что отрезки касательных, проведённые из одной точки, равны, несложно показать, что отрезок X'Y' с концами на сторонах AD и BC делит периметр пополам тогда и только тогда, когда  OX' + OY' = l,  где l – постоянная величина, равная удвоенному отрезку соответствующей касательной плюс полупериметр четырёхугольника.
  Пусть M – середина IJ. Также просто проверяется, что  OX + OY = l.  Значит, треугольники MXX' и MYY' равны, а следовательно, треугольники MXY и MX'Y' подобны по двум углам. Значит, X'Y' минимально, когда минимально MX', то есть когда X' совпадает с X (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2005
класс
Класс 11
Задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .