|
|
 |
Условие
На плоскости дан угол и точка К внутри него. Доказать, что найдётся точка М, обладающая следующим свойством: если произвольная прямая, проходящая через К, пересекает стороны угла в точках А и В, то МК является биссектрисой угла АМВ.
Решение 1
На произвольной прямой, проходящей через K и пересекающей стороны угла в точках A и B, возьмём такую точку K', что AK' : BK' = AK : BK. Все такие точки K' лежат на прямой l, проходящей через вершину угла (это следует из того, что центральная проекция сохраняет двойное отношение). Поэтому все окружности с диаметром KK' проходят через проекцию M точки K на l. Каждая такая окружность является окружностью Аполлония для точек A и B и отношения AK : BK, поэтому выполнено равенство AM : BM = AK : BK, то есть точка M – искомая (рис. слева).
Решение 2
Пусть O – вершина угла. Построим параллелограмм KXOY, две стороны которого лежат на сторонах угла. Пусть M – точка, симметричная K относительно XY. Докажем, что точка M – искомая.
Пусть прямая, проходящая через K, пересекает прямые OX и OY в точках A и B. Заметим, что MX = KX, MY = KY, треугольники MXY, KXY и OYX равны, поэтому MOYX – равнобокая трапеция и ∠MXO = ∠MYO. Значит, ∠MXA = 180° – ∠MXO = 180° – ∠ MYO = ∠BYM.
Треугольники AXK и KYB подобны, так как их стороны соответственно параллельны, поэтому KX : XA = BY : YK. Отсюда получаем MX : XA = KX : XA = BY : YK = BY : YM.
Отсюда и из равенства углов MXA и BYM получаем, что
треугольники MXA и BYM подобны (рис. справа).
Пользуясь двумя доказанными подобиями, получаем
MA : BM = MX : BY = KX : BY = AK : KB, что и означает, что MK – биссектриса треугольника AMB.
