Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]

Задача 78013

Темы:	[	Числовые таблицы и их свойства	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что AB = CD, AD = BC и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78021

Темы:	[	Симметрия относительно плоскости	]
Темы:	[	Тетраэдр и пирамида	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сколько плоскостей симметрии может иметь треугольная пирамида?

Прислать комментарий Решение

Задача 78023

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Десятичная система счисления	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Рассматриваются всевозможные десятизначные числа, записываемые при помощи двоек и единиц. Разбить их на два класса так, чтобы при сложении любых двух чисел каждого класса получалось число, в написании которого содержится не менее двух троек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78002

Тема:

[

Системы линейных уравнений

]

Сложность: 3+
Классы: 9

Найти все решения системы уравнений x(1 – 2^–n) + y(1 – 2^–n–1) + z(1 – 2^–n–2) = 0, где n = 1, 2, 3, 4, ...

Прислать комментарий

Решение

Задача 78011

Темы:	[	Вспомогательная раскраска (прочее)	]
	[	Системы точек и отрезков	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

План города представляет собой плоскость, разбитую на одинаковые правильные треугольники. Стороны треугольников – шоссейные дороги, а вершины треугольников – перекрестки. Из точек A и B, расположенных на одной дороге (стороне треугольника), одновременно в одном направлении с одинаковыми скоростями выезжают две машины. Доехав до любого перекрёстка, каждая машина может или продолжить свое движение в том же направлении, или же повернуть на 120° вправо или влево. Могут ли машины встретиться?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]