Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 28]
Дан отрезок OA. Из конца отрезка A выходит 5 отрезков AB1, AB2, AB3, AB4, AB5. Из каждой точки Bi могут выходить ещё пять новых отрезков или ни одного нового отрезка и т.д. Может ли число свободных концов построенных отрезков равняться 1001? Под свободным концом отрезка понимаем точку, принадлежащую только одному отрезку (кроме точки O).
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
|
Известно, что модули всех корней уравнений x² + Ax + B = 0, x² + Cx + D = 0 меньше единицы. Доказать, что модули корней уравнения
x² + ½ (A + C)x + ½ (B + D)x = 0 также меньше единицы. A, B, C, D – действительные числа.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 3a2 + 2a3 ≥ 0,
a2 – 3a3 + 2a4 ≥ 0,
a3 – 3a4 + 2a5 ≥ 0,
...,
a99 – 3a100 + 2a1 ≥ 0,
a100 – 3a1 + 2a2 ≥ 0.
Доказать, что все числа ai равны между собой.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
Найти все действительные решения уравнения x² + 2x sin(xy) + 1 = 0.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Дано 100 чисел a1, a2, a3, ..., a100, удовлетворяющих условиям:
a1 – 4a2 + 3a3 ≥ 0,
a2 – 4a3 + 3a4 ≥ 0,
a3 – 4a4 + 3a5 ≥ 0,
...,
a99 – 4a100 + 3a1 ≥ 0,
a100 – 4a1 + 3a2 ≥ 0.
Известно, что a1 = 1, определить a2, a3, ..., a100.
Страница:
<< 1 2 3
4 5 6 >> [Всего задач: 28]
Фильтр
