Задача 78013

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Из клетчатой бумаги вырезан квадрат 17×17. В клетках квадрата произвольным образом написаны числа 1, 2, 3, ..., 70 по одному и только одному числу в каждой клетке. Доказать, что существуют такие четыре различные клетки с центрами в точках A, B, C, D, что  AB = CD,  AD = BC  и сумма чисел, стоящих в клетках с центрами в A и C, равна сумме чисел в клетках с центрами B и D.

Решение

Рассмотрим всевозможные пары клеток, симметричных относительно центра квадрата. Количество таких пар равно  (17² – 1) : 2 = 144.  Сумма чисел, написанных в двух клетках может быть равна 2, 3, ..., 140. Поэтому найдутся две пары клеток, симметричных относительно центра квадрата, с равными суммами написанных чисел. В качестве точек A и C возьмём центры одной пары клеток, а в качестве точек B и D — центры другой пары.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	17
Год	1954
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1