Версия для печати
Убрать все задачи

---

Что останется от прямоугольника? Золотой прямоугольник — это такой прямоугольник, стороны a и b которого находятся в пропорции золотого сечения, то есть удовлетворяют равенству a : b = b : (a - b). Представим, что такой прямоугольник вырезан из бумаги и лежит на столе, обращенный к нам своей более длинной стороной. Отсечем по левую сторону прямоугольника наибольший квадрат, который можно из него вырезать; остаток будет снова золотым прямоугольником. Далее становимся по левую сторону стола так, чтобы снова иметь перед собой более длинную сторону и поступаем с новым прямоугольником так же, как и с предыдущим. Таким образом обходим стол вокруг по направлению хода часовой стрелки и по очереди отсекаем квадраты. Каждая точка прямоугольника за исключением одной, будет раньше или позже отсечена. Определите положение этой исключительной точки.

   Решение

---

Любое число $x$, написанное на доске, разрешается заменить либо на  3$x$ + 1,  либо на  [^x/₂].
Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66821

Тема:   [ Замощения костями домино и плитками ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

У Васи есть неограниченный запас брусков 1×1×3 и уголков из трёх кубиков 1×1×1. Вася целиком заполнил ими коробку m×n×k, где $m, n, k$ – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66824

Тема:   [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Любое число $x$, написанное на доске, разрешается заменить либо на  3$x$ + 1,  либо на  [^x/₂].
Докажите, что если вначале написано число 1, то такими операциями можно получить любое натуральное число.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66827

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Назовём сложностью целого числа  $n$ > 1  количество сомножителей в его разложении на простые. Для каких $n$ все числа между $n$ и 2$n$ имеют сложность
  а) не больше, чем у $n$;
  б) меньше, чем у $n$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66834

Темы:   [ Многочлены (прочее) ] [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Многочлен  $P(x, y)$  таков, что для всякого целого  $n\geqslant 0$  каждый из многочленов  $P(n, y)$  и  $P(x, n)$  либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$.
Может ли многочлен  $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66835

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Отрезки $AA', BB'$ и $CC'$ с концами на сторонах остроугольного треугольника $ABC$ пересекаются в точке $P$ внутри треугольника. На каждом из этих отрезков как на диаметре построена окружность, в которой перпендикулярно этому диаметру проведена хорда через точку $P$. Оказалось, что три проведённые хорды имеют одинаковую длину. Докажите, что $P$ – точка пересечения высот треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями