Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 52]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Два остроугольных треугольника $ABC$ и $A_{1}B_{1}C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне $BC$, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть $S$ и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,10,11
|
Из центра $O$ описанной окружности Ω треугольника $ABC$ опустили перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на биссектрисы внутреннего и внешнего углов при вершине $B$.
Докажите, что прямая $PQ$ делит пополам отрезок, соединяющий середины сторон $CB$ и $AB$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Точка $M$ лежит внутри выпуклого четырёхугольника $ABCD$ на одинаковом расстоянии от прямых $AB$ и $CD$ и на одинаковом расстоянии от прямых $BC$ и $AD$.
Оказалось, что площадь четырёхугольника $ABCD$ равна $MA\cdot MC + MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$
а) вписанный;
б) описанный.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Даны две окружности, пересекающиеся в точках $P$ и $Q$. Произвольная прямая $l$, проходящая через $Q$, повторно пересекает окружности в точках $A$ и $B$.
Прямые, касающиеся окружностей в точках $A$ и $B$, пересекаются в точке $C$, а биссектриса угла $CPQ$ пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Докажите, что все точки $D$, которые можно так получить, выбирая по-разному прямую $l$, лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Для каких $N$ можно расставить в клетках квадрата N×N действительные числа так, чтобы среди всевозможных сумм чисел на парах соседних по стороне клеток встречались все целые числа от 1 до $2(N - 1)N$ включительно (ровно по одному разу)?
Страница:
<< 4 5 6 7
8 9 10 >> [Всего задач: 52]
Фильтр
