Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
41 турнир (2019/2020 год)
>>
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Фильтр
Задачи
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
На плоскости даны две параболы: $y=x^2$ и $y=x^2-1$.
Пусть U – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах).
Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в U?
Алёша задумал натуральные числа a, b, c, а потом решил найти такие натуральные x, y, z, что a=НОК(x, y), b=НОК(x, z), c=НОК(y, z).
Оказалось, что такие x, y, z существуют и определены однозначно.
Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b.
Докажите, что Боря может восстановить c.
Может ли в сечении какого-то тетраэдра двумя разными плоскостями получиться два квадрата: один – со стороной, не большей 1, а другой – со стороной, не меньшей 100?
К Ивану на день рождения пришли 2N гостей.
У Ивана есть N чёрных и N белых цилиндров.
Он хочет устроить бал: надеть на гостей цилиндры и выстроить их в хороводы (один или несколько) так, чтобы в каждом хороводе было хотя бы два человека и люди в цилиндрах одного цвета не стояли в хороводе рядом.
Докажите, что Иван может устроить бал ровно (2N)! различными способами.
(Цилиндры одного цвета неразличимы; все гости различимы.)
Дан вписанный четырёхугольник ABCD.
Окружности с диаметрами AB и CD пересекаются в двух точках $X_{1}$ и $Y_{1}$.
Окружности с диаметрами ВС и АD пересекаются в двух точках $X_{2}$ и $Y_{2}$.
Окружности с диаметрами AС и ВD пересекаются в двух точках $X_{3}$ и $Y_{3}$.
Докажите, что прямые $X_{1} Y_{1}, X_{2} Y_{2}, X_{3} Y_{3}$ пересекаются в одной точке.
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
Задача 66858 (#1) |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66859 (#2) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66860 (#3) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66861 (#4) |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66862 (#5) |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 >> [Всего задач: 7]
