ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66858
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две параболы: $y=x^2$ и $y=x^2-1$. Пусть U – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в U?

Решение

Касательная к первой параболе в точке $(a, a^2)$ имеет уравнение $y=2a(x-a)+a^2$. Точки пересечения этой прямой со второй параболой — это $A(a-1, (a-1)^2-1)$ и $B(a+1, (a+1)^2-1)$. Отрезок AB целиком лежит в U, а квадрат его длины, равный $2^2+16a^2$, может быть сколь угодно велик.

Ответ

cуществует.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .