ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 66858
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Квадратный трехчлен (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны две параболы:  $y = x^2$  и  $y = x^2 - 1$.  Пусть $U$ – множество всех точек плоскости, лежащих между параболами (включая точки на самих параболах). Существует ли отрезок длины более $10^6$, целиком содержащийся в $U$?


Решение

Касательная к первой параболе в точке  $(a, a^2)$  имеет уравнение  $y = 2a(x - a) + a^2$.  Точки пересечения этой прямой со второй параболой – это  $A(a - 1, (a - 1)^2 - 1)$  и
$B(a + 1, (a + 1)^2$ – 1).  Отрезок $AB$ целиком лежит в $U$, а квадрат его длины, равный  $2^2 + 16a^2$,  может быть сколь угодно велик.


Ответ

Существует.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
номер/год
Номер 41
Год 2019/20
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .