Каталог по источникам

Выбрано 8 задач

Функция f(x) определена на положительной полуоси и принимает только положительные значения. Известно, что f(1) + f(2) = 10 и при любых а и b. Найдите f(2²⁰¹¹).

Решение

Автор: Шаповалов А.В.

На столе лежат N > 2 кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

Решение

Автор: Евдокимов М.А.

Трём мудрецам показали 9 карт: шестерку, семерку, восьмерку, девятку, десятку, валета, даму, короля и туза (карты перечислены по возрастанию их достоинства). После этого карты перемешали и каждому раздали по три карты. Каждый мудрец видит только свои карты. Первый сказал: "Моя старшая карта – валет". Тогда второй ответил: "Я знаю, какие карты у каждого из вас". У кого из мудрецов был туз?

Решение

Точки A₁,..., A_n лежат на окружности с центром O, причем $\overrightarrow{OA_1}$ +...+ $\overrightarrow{OA_n}$ = $\overrightarrow{0}$ . Докажите, что для любой точки X справедливо неравенство XA₁ +...+ XA_n $\ge$ nR, где R — радиус окружности.

Решение

Даны угол ABC и точка M внутри его. Постройте окружность, касающуюся сторон угла и проходящую через точку M.

Решение

Выпуклый N-угольник разбит диагоналями на треугольники (при этом диагонали не пересекаются внутри многоугольника). Треугольники раскрашены в чёрный и белый цвета так, что каждые два треугольника с общей стороной раскрашены в разные цвета. Для каждого N найдите максимум разности количества белых и количества чёрных треугольников.

Решение

Автор: Гальперин Г.А.

На бумажке записаны 1 и некоторое нецелое число x. За один ход разрешается записать на бумажку сумму или разность каких-нибудь двух уже записанных чисел или записать число, обратное к какому-нибудь из уже записанных чисел. Можно ли за несколько ходов получить на бумажке
число x²?

Решение

Петя разрезал прямоугольный лист бумаги по прямой на две части. Затем одну часть снова разрезал по прямой на две. Потом одну из получившихся частей опять разрезал на две части, и так далее, всего он резал бумагу сто раз. Потом Петя подсчитал суммарное количество вершин у всех получившихся многоугольников – получилось всего 302 вершины. Могло ли так быть?

Решение

Задача 65169 (#9.1.1)

Задача 65170 (#9.1.2)

Задача 65421 (#9.1.3)

Задача 65422 (#9.2.1)

Задача 65423 (#9.2.2)