Дана последовательность чисел x₁, x₂, ... . Известно, что 0<x₁<1 и x_k+1=x_k-x_k² для всех k>1. Докажите, что x₁²+x₂²+...+x_n²<1 для любого n>1.

   Решение

Тема:    [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите систему уравнений:
  ¹/_x = y + z,
  ¹/_y = z + x,
  ¹/_z = x + y.

Решение

  Первый способ. Вычитая из первого уравнения второе, получим:  ¹/_x – ¹/_y = y – x  ⇔  (y – x)(¹/_xy – 1) = 0  ⇔  x = y  или  xy = 1.  Рассмотрим два случая.
  1)  x = y.  Исключив из первого и третьего уравнений переменную y, получим  ¹/_x = x + z,  ¹/_z = 2x  ⇔  z = ¹/_2x,  ¹/_2x = x  ⇔  x = z = .
  2)  xy = 1.  Тогда из первого уравнения следует, что  z = 0,  и выражение ¹/_z не имеет смысла. Таким образом, этот случай невозможен.

  Второй способ. Заметим, что  ¹/_x + x = ¹/_y + y = ¹/_z + z = x + y + z.  Пусть  x + y + z = A,  тогда x, y и z – корни уравнения  ¹/_t + t = A,  которое равносильно квадратному уравнению  t² – At + 1 = 0.  Так как квадратное уравнение имеет не более двух корней, то значения каких-то двух переменных должны быть одинаковыми. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассмотренным в пункте 1) первого способа.

Ответ

;   .

Источники и прецеденты использования