Версия для печати
Убрать все задачи

---

На доске написано n выражений вида  *x² + *x + * = 0  (n – нечетное число). Двое играют в такую игру. Ходят по очереди. За ход разрешается заменить одну из звёздочек числом, не равным нулю. Через 3n ходов получится n квадратных уравнений. Первый игрок стремится к тому, чтобы как можно большее число этих уравнений не имело корней, а второй хочет ему помешать. Какое наибольшее число уравнений, не имеющих корней, может получить первый игрок независимо от игры второго?

   Решение

---

Для  n = 1, 2, 3  будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1,  (n + 2),  (n + 2)²,  ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116676  (#5)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116688  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

Дан треугольник ABC. Прямая l касается вписанной в него окружности. Обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно биссектрис внешних углов треугольника. Докажите, что треугольник, образованный этими прямыми, равен треугольнику ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116694  (#5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Соображения непрерывности ]

Сложность: 5 Классы: 10

Дан остроугольный треугольник ABC. Для произвольной прямой l обозначим через l_a, l_b, l_c прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, а через I_l – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек I_l.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116700  (#5)

Темы:   [ Геометрическая прогрессия ] [ Индукция (прочее) ] [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]

Сложность: 4+ Классы: 11

Для  n = 1, 2, 3  будем называть числом n-го типа любое число, которое либо равно 0, либо входит в бесконечную геометрическую прогрессию
1,  (n + 2),  (n + 2)²,  ..., либо является суммой нескольких различных её членов. Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде суммы числа первого типа, числа второго типа и числа третьего типа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116706  (#5)

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 5- Классы: 11

Обозначим через  S(n, k)  количество не делящихся на k коэффициентов разложения многочлена  (x + 1)ⁿ  по степеням x.
  а) Найдите  S(2012, 3).
  б) Докажите, что  S(2012²⁰¹¹, 2011)  делится на 2012.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 29]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями