|
|
 |
Условие
Дан остроугольный треугольник ABC. Для произвольной прямой l обозначим через la, lb, lc прямые, симметричные l относительно сторон треугольника, а через Il – центр вписанной окружности треугольника, образованного этими прямыми. Найдите геометрическое место точек Il.
Решение
Проведём через ортоцентр H треугольника ABC прямую m, параллельную l. Прямые ma, mb и mc, симметричные m относительно соответствующих сторон, пересекаются в точке Im, лежащей на описанной окружности Ω треугольника ABC (см. задачу 55657). Пусть расстояние между m и l равно r (то есть l касается окружности радиуса r с центром H). Тогда точка Im находится на расстоянии r от прямых la, lb и lc, то есть является центром либо вписанной, либо вневписанной окружности ωl (радиуса r) образованного ими треугольника Δl. Докажем, что это именно вписанная окружность, то есть Im совпадает с Il.
Будем вращать пару прямых m и l вокруг точки H, сохраняя расстояние между ними. Как точка Im, так и вершины треугольника Δl непрерывно зависят от угла поворота. При непрерывном изменении вписанная окружность постоянного радиуса не может превратиться во вневписанную. По тем же соображениям окружность останется вписанной, если мы, сохраняя положение прямой m, будем отодвигать от нее прямую l. Поэтому достаточно проверить, что ωl вписана в Δl хотя бы при одном положении прямой l. Но это так, например, когда l совпадает с прямой AB: при этом Δl – это треугольник ABD (D н C лежат по разные стороны прямой AB), и нетрудно проверить, что как точка Il, так и точка Im совпадают с точкой Ω, диаметрально противоположной точке С.
Заметим также, что при вращении m вокруг H, прямая ma вращается вокруг точки Ha, симметричной H относительно BC (эта точка также лежит на Ω, см. задачу 55463); значит, точка Im пробегает всю окружность Ω.
Ответ
Описанная окружность треугольника ABC.
Замечания
Ср. с задачей 116188.
