Задача 60808

Тема:    [ Признаки делимости (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10 Название задачи: Признак делимости на 19.

Условие

Существует следующий способ проверить, делится ли данное число N на 19:
  1) отбрасываем последнюю цифру у числа N;
  2) прибавляем к полученному числу произведение отброшенной цифры на 2;
  3) с полученным числом проделываем операции 1) и 2) до тех пор, пока не останется число, меньшее или равное 19.
  4) если остается 19, то 19 делится на N, в противном случае N не делится на 19.
Докажите справедливость этого признака делимости.

Подсказка

Сравнения  10a + b ≡ 0 (mod 19)  и  a + 2b ≡ 0 (mod 19)  равносильны.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	5
Название	Признаки делимости
Тема	Признаки делимости (прочее)
задача
Номер	04.182