ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116676
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа  x + y² + z²,  x² + y + z²  и  x² + y² + z  целые. Докажите, что число 2x целое.


Решение

  Приведём дроби x, y и z к виду с наименьшим общим знаменателем:  x = a/D,  y = b/D,  z = c/D.  Тогда  НОД(a, b, c, D) = 1.
  Число     целое, поэтому  a² + b²  делится на D. Аналогично на D делятся и суммы  b² + c²  и  a² + c². Тогда и
2c² = (b² + c²) + (a² + c²) – (a² + b²)  делится на D. Аналогично 2a² и 2b² делятся на D.
  Если у D есть простой делитель  p > 2,  то a, b и c делятся на p, и  НОД(a, b, c, D) ≥ p.  Противоречие. Поэтому D – степень двойки.
  Если D кратно 4, то a, b, c чётны, и мы опять получаем противоречие. Значит,  D = 1  или  D = 2.  В частности,  2x = 2a/D  – целое число.

Замечания

В варианте 9 кл. в условии вместо "Докажите, что..." был вопрос "Верно ли...?".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 8
задача
Номер 5
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 75
Год 2012
класс
Класс 9
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .