Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решить систему:

    10x₁ + 3x₂ + 4x₃ + x₄ + x₅ = 0,
    11x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 3x₅ + x₆ = 0,
    15x₃ + 4x₄ + 5x₅ + 4x₆ + x₇ = 0,
    2x₁ + x₂ – 3x₃ + 12x₄ – 3x₅ + x₆ + x₇ = 0,
    6x₁ – 5x₂ + 3x₃ – x₄ + 17x₅ + x₆ = 0,
    3x₁ + 2x₂ – 3x₃ + 4x₄ + x₅ – 16x₆ + 2x₇ = 0,
    4x₁ – 8x₂ + x₃ + x₄ – 3x₅ + 19x₇ = 0.

   Решение

---

В треугольнике ABC высота BD образует со стороной BC угол в 45°. Считается, что прямая BD, содержащая высоту, уже построена. Как одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника ABC?

   Решение

---

Дан трёхгранный угол. Рассмотрим три плоскости, содержащие его грани. Эти плоскости разбивают пространство на восемь трёхгранных углов. а) Найдите плоские углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если плоские углы исходного трёхгранного угла равны x , y и z . б) Найдите двугранные углы всех образовавшихся трёхгранных углов, если двугранные углы исходного трёхгранного угла равны α , β и γ .

   Решение

---

В треугольнике ABC проведены триссектрисы (лучи, делящие углы на три равные части). Ближайшие к стороне BC триссектрисы углов B и C пересекаются в точке A₁; аналогично определим точки B₁ и C₁ (см. рис.). Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ равносторонний.

   Решение

---

Упростить выражение   .

   Решение

---

Через точку Y на стороне AB равностороннего треугольника ABC проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке Z, а продолжение стороны CA за точку A – в точке X. Известно, что  XY = YZ  и  AY = BZ.  Докажите, что прямые XZ и BC перпендикулярны.

   Решение

---

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

   Решение

---

В очереди к стоматологу стоят 30 ребят: мальчиков и девочек. Часы на стене показывают 8:00. Как только начинается новая минута, каждый мальчик, за которым стоит девочка, пропускает её вперед. Докажите, что перестановки в очереди закончатся до 8:30, когда откроется дверь кабинета.

   Решение

---

Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  AEF, BGH, CIJ, DKL  (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
  а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
  б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 108022

Темы:   [ Вспомогательная окружность ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике соединены основания высот. Оказалось, что в полученном треугольнике две стороны параллельны сторонам исходного треугольника. Докажите, что третья сторона также параллельна одной из сторон исходного треугольника.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108613

Темы:   [ Диаметр, основные свойства ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Квадрат ABCD и окружность пересекаются в восьми точках так, что образуются четыре криволинейных треугольника:  AEF, BGH, CIJ, DKL  (EF, GH, IJ, KL – дуги окружности). Докажите, что
  а) сумма длин дуг EF и IJ равна сумме длин дуг GH и KL;
  б) сумма периметров криволинейных треугольников AEF и CIJ равна сумме периметров криволинейных треугольников BGH и DKL.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97910

Темы:   [ Производящие функции ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Берутся всевозможные непустые подмножества из множества чисел   1, 2, 3, ..., n.  Для каждого подмножества берётся величина, обратная к произведению всех его чисел. Найти сумму всех таких обратных величин.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97916

Темы:   [ Покрытия ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97933

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Имеется много кубиков одинакового размера, раскрашенных в шесть цветов. При этом каждый кубик раскрашен во все шесть цветов, каждая грань – в какой-нибудь один свой цвет, но расположение цветов на разных кубиках может быть различным. Кубики выложены на стол, так что получился прямоугольник. Разрешается взять любой столбец этого прямоугольника, повернуть его вокруг длинной оси и положить на место. То же самое разрешается делать и со строками. Всегда ли можно с помощью таких операций добиться того, что все кубики будут смотреть вверх гранями одного и того же цвета?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями