Назовём натуральное семизначное число удачным, если оно делится на произведение всех своих цифр. Существуют ли четыре последовательных удачных числа?

   Решение

Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его предпоследняя цифра нечётна.

   Решение

Докажите, что  a₁a₂...a_n–1a_n  ≡  a_n–1a_n (mod 4).

   Решение

а) Может ли число, составленное только из четвёрок, делиться на число, составленное только из троек?
б) А наоборот?

   Решение

Темы:    [ Необычные построения (прочее) ] [ Частные случаи треугольников (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC высота BD образует со стороной BC угол в 45°. Считается, что прямая BD, содержащая высоту, уже построена. Как одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника ABC?

Решение

Для построения достаточно из точки D провести окружность с радиусом DA. Точка пересечения K с прямой BD и будет ортоцентром треугольника. Действительно, в равнобедренном прямоугольном треугольнике KDA ∠KAD = ∠AKD = 45°. Пусть L – точка пересечения AK и BD. Тогда ∠BKL =∠AKD = 45°, кроме того, по условию ∠CBD = 45°, следовательно, AL ⊥ BC. Заметим, что построение не зависит от того, является угол ABC острым, прямым или тупым.

Источники и прецеденты использования