Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]

Задача 107843

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Замена переменных	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Авторы: Гальперин Г.А., Смоляков А.Н.

Положительные числа a, b и c таковы, что abc = 1. Докажите неравенство

≤ 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 107833

Темы:	[	Ортогональная проекция (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Расстояние между двумя точками. Уравнение сферы	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Канель-Белов А.Я.

Существует ли выпуклое тело, отличное от шара, ортогональные проекции которого на некоторые три попарно перпендикулярные плоскости являются кругами?

Прислать комментарий Решение

Задача 107836

Темы:	[	Теорема Виета	]
Темы:	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Фельдман К.Э.

Даны такие действительные числа a₁ ≤ a₂ ≤ a₃ и b₁ ≤ b₂ ≤ b₃, что

a₁ + a₂ + a₃ = b₁ + b₂ + b₃, a₁a₂ + a₂a₃ + a₁a₃ = b₁b₂ + b₂b₃ + b₁b₃.

Докажите, что если a₁ ≤ b₁, то a₃ ≤ b₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98355

Темы:	[	Свойства коэффициентов многочлена	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Авторы: Сендеров В.А., Вялый М.Н.

Пусть 1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x), где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x), где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1 (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

Задача 108169

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Композиции гомотетий	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]
	[	Теорема о группировке масс	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Евдокимов М.А.

а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.

б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]