|
|
 |
Условие
а) Каждую сторону четырёхугольника в процессе обхода по часовой стрелке продолжили на её длину. Оказалось, что новые концы построенных отрезков служат вершинами квадрата. Докажите, что исходный четырёхугольник – квадрат.
б) Докажите, что если в результате такой же процедуры из некоторого n-угольника получается правильный n-угольник, то исходный многоугольник – правильный.
Решение
Очевидно, что из правильного многоугольника A1A2...An после продолжения сторон получится правильный многоугольник B1B2...Bn. Поскольку все правильные n-угольники подобны, то любой из них можно получить такой процедурой из некоторого правильного n-угольника. Осталось доказать, что по многоугольнику B1B2...Bn многоугольник A1A2...An определяется однозначно.
При гомотетии с центром B1 и коэффициентом ½ точка A1 перейдёт в A2. При гомотетии с центром B2 и коэффициентом ½ точка A2 перейдёт в A3, и т. д. При гомотетии с
центром Bn и коэффициентом ½ точка An перейдёт в A1. Итак, точка A1 перешла в себя при композиции гомотетий. Композиция n гомотетий с коэффициентом ½ есть гомотетия с коэффициентом 2–n и центром, однозначно определяемым центрами этих гомотетий. Значит, точка A1 (центр этой гомотетии) определена однозначно.
Замечания
Другие решения этой задачи (с помощью теоремы Менелая или понятия центра масс) можно найти в кн. "Московские математические олимпиады".
