Фильтр
Выбрано 6 задач Убрать все задачи
Каждый зритель, купивший билет в первый ряд кинотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось, что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель сидит не на своём месте. Билетёр может менять местами соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он может рассадить всех на свои места?
РешениеПо кругу расставлены нули и единицы (и те и другие присутствуют). Каждое число,
у которого два соседа одинаковы, заменяют на ноль, а остальные числа – на единицы, и такую операцию проделывают несколько раз.
a) Могут ли все числа стать нулями, если их 13 штук?
б) Могут ли все числа стать единицами, если их 14 штук?
РешениеИнопланетянин со звезды Тау Кита, прилетев на Землю в понедельник, воскликнул: ''А!''. Во вторник он воскликнул: ''АУ!'', в среду — ''АУУА!'', в четверг — ''АУУАУААУ!''. Что он воскликнет в субботу?
РешениеВ углу шахматной доски размером n×n полей стоит ладья. При каких n, чередуя горизонтальные и вертикальные ходы, она может за n² ходов побывать на всех полях доски и вернуться на место? (Учитываются только поля, на которых ладья останавливалась, а не те, над которыми она проносилась во время хода.)
РешениеПусть a1, ..., a11 –
различные натуральные числа, не меньшие 2, сумма которых равна 407.
Может ли сумма остатков от деления некоторого натурального числа n на 22 числа a1, ..., a11, 4a1, 4a2, ..., 4a11 равняться 2012?
РешениеНа олимпиаде m>1 школьников решали n>1 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.
Решение
Задачи
Задача 105197 |
|
|
В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число участников, решивших
хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;
хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;
хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;
хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;
хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.
Сколько школьников не решили ни одной задачи?
|
|
Решение |
Задача 105203 |
|
|
Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?
|
|
|
Решение |
Задача 105198 |
|
|
В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?
|
|
|
Решение |
Задача 105204 |
|
|
На олимпиаде m>1 школьников решали n>1 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.
|
|
|
Решение |
Задача 105199 |
|
Треугольники ABC и A1B1C1 – равнобедренные прямоугольные (стороны AB и A1B1 – гипотенузы). Известно, что C1 лежит на BC, B1 лежит на AB, а A1 лежит на AC. Докажите, что AA1 = 2CC1.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
