ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105198
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Перебор случаев ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?


Решение

  Пример.

  Оценка. Докажем, что меньшим количеством ненулевых чисел обойтись нельзя.
  Если в таблице ровно одно ненулевое число, то сумма чисел в строке, содержащей это число, отлична от нуля.
  Допустим, в таблице ровно три ненулевых числа. Если все они стоят в одной строке, то сумма чисел в любом столбце отлична от нуля. Если не все они стоят в одной строке, то в какой-нибудь строке стоит ровно одно ненулевое число, и сумма чисел в этой строке не равна нулю.
  Допустим, в таблице ровно пять ненулевых чисел. Тогда в таблице стоит четыре нуля, значит, какие-то два нуля стоят в одной строке. Поскольку сумма чисел в этой строке равна нулю, все числа в этой строке – нули. Осталось заметить, что в столбце, в котором стоит оставшийся ноль, ровно два нуля, что невозможно.


Ответ

7 чисел.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 8
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .