ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105199
Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки равенства прямоугольных треугольников ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Треугольники ABC и A1B1C1 – равнобедренные прямоугольные (стороны AB и A1B1 – гипотенузы). Известно, что C1 лежит на BC, B1 лежит на AB, а A1 лежит на AC. Докажите, что  AA1 = 2CC1.


Решение

  Первый способ. Обозначим  x = CC1y = CA1.   ∠CA1C1 + ∠CC1A1 = 90°  и  ∠BC1B1 + ∠CC1A1 = 90°  (рис. слева). Следовательно,  ∠ CA1C1 = ∠BC1B1.  Опустим перпендикуляр B1N на сторону BC. Треугольники B1NC1 и C1CA1 равны по гипотенузе и острому углу. Отсюда  B1N = x  и  NC1 = y.  Треугольник BNB1 – прямоугольный равнобедренный. Отсюда  NB = x.  По условию  y + AA1 = CA = CB = y + 2x.  Следовательно,  AA1 = 2x = 2CC1.

           

  Второй способ. Пусть D – середина стороны A1B1. Тогда  ∠C1DA1 = 90°.  Следовательно, четырёхугольник CC1DA1 – вписанный, откуда
DA1C1 = ∠DCC1 = 45°  и  ∠DC1C = ∠DA1A  (рис. справа). Таким образом, треугольники DC1C и B1A1A подобны по двум углам. Коэффициент подобия равен  B1A1 : DC1 = 2,  поэтому  AA1 = 2CC1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 8
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .