ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 105203
Темы:    [ Арифметическая прогрессия ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?


Решение

  Если в первый день Вася съест a конфет, то за n дней он съест  a + (a + 1) + ... + (a + n – 1) = ½ n(2a – 1 + n).
  Значит,  ½ n(2a – 1 + n) = 777. Следовательно, n делит  2·777 = 1554.  Так как  1554 = n(2a – 1 + n) > n²,  то  n < 40.  Но максимальное число n, меньшее 40 и делящее   1554 = 2·3·7·37,  равняется 37. Случай  n = 37  действительно возможен при  a = 3.


Ответ

n = 37.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 62
Год 2006
вариант
Класс 9
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .