Версия для печати
Убрать все задачи

---

На бесцветной плоскости покрасили три произвольные точки: одну – в красный цвет, другую – в синий, третью –` в жёлтый. Каждым ходом выбирают на плоскости любые две точки двух из этих цветов и окрашивают еще одну точку в оставшийся цвет так, чтобы эти три точки образовали равносторонний треугольник, в котором цвета вершин идут в порядке "красный, синий, жёлтый" (по часовой стрелке). При этом разрешается красить и уже окрашенную точку плоскости (считаем, что точка может иметь одновременно несколько цветов). Докажите, что сколько бы ходов ни было сделано, все точки одного цвета будут лежать на одной прямой.

   Решение

---

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны AB и A₁B₁ – гипотенузы). Известно, что C₁ лежит на BC, B₁ лежит на AB, а A₁ лежит на AC. Докажите, что  AA₁ = 2CC₁.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105197

Темы:   [ Арифметика. Устный счет и т.п. ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]

Сложность: 2+ Классы: 6,7,8

В олимпиаде участвовали 2006 школьников. Оказалось, что школьник Вася из всех шести задач решил только одну, а число участников, решивших
  хотя бы 1 задачу, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 2;
  хотя бы 2 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 3;
  хотя бы 3 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 4;
  хотя бы 4 задачи, в 4 раза больше, чем решивших хотя бы 5;
  хотя бы 5 задач, в 4 раза больше, чем решивших все 6.
Сколько школьников не решили ни одной задачи?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105203

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Васе на 23 февраля подарили 777 конфет. Вася хочет съесть все конфеты за n дней, причем так, чтобы каждый из этих дней (кроме первого, но включая последний) съедать на одну конфету больше, чем в предыдущий. Для какого наибольшего числа n это возможно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105198

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Перебор случаев ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

В клетках таблицы 3×3 расставлены числа так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке равна нулю. Какое наименьшее количество чисел, отличных от нуля, может быть в этой таблице, если известно, что оно нечётно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105204

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

На олимпиаде m>1 школьников решали n>1 задач. Все школьники решили разное количество задач. Все задачи решены разным количеством школьников. Докажите, что один из школьников решил ровно одну задачу.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105199

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ – равнобедренные прямоугольные (стороны AB и A₁B₁ – гипотенузы). Известно, что C₁ лежит на BC, B₁ лежит на AB, а A₁ лежит на AC. Докажите, что  AA₁ = 2CC₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями