Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]

Задача 105173

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Теорема Хелли	]

Сложность: 5-
Классы: 7,8,9

Автор: Акопян А.В.

а) Из картона вырезали 7 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 6 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 7 нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б) Из картона вырезали 8 выпуклых многоугольников и положили на стол так, что любые 7 из них можно прибить к столу двумя гвоздями, а все 8 — нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

Прислать комментарий Решение

Задача 108104

Темы:	[	Длины сторон, высот, медиан и биссектрис	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Канель-Белов А.Я.

Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что $$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$

Прислать комментарий Решение

Задача 108111

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9

Автор: Заславский А.А.

Радиус описанной окружности треугольника ABC равен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точке C' и продолжений двух других сторон в точках A' и B' . Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот) треугольника A'B'C' .

Прислать комментарий Решение

Задача 105174

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8

На шахматную доску произвольным образом уложили 32 доминошки (прямоугольника 1×2), так что доминошки не перекрываются. Затем к доске добавили одну клетку, как показано на рисунке. Разрешается вынимать любую доминошку, а затем класть её на две соседние пустые клетки.

Докажите, что можно расположить все доминошки горизонтально.

Прислать комментарий Решение

Задача 105188

Темы:	[	Cкрещивающиеся прямые, угол между ними	]
	[	Проектирование помогает решить задачу	]
	[	Параллельное проектирование (прочее)	]
	[	Малые шевеления	]
	[	Аффинная геометрия (прочее)	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Бородин П.А.

Верно ли, что для любых четырёх попарно скрещивающихся прямых можно так выбрать по одной точке на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами а) трапеции, б) параллелограмма?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]