ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 108092

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105177

Темы:   [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Инварианты ]
[ Произвольные многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не обязательно выпуклого), у которого соседние стороны перпендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольника – лузы, при попадании в которые шар там и остаётся. Из вершины A с (внутренним) углом 90° выпущен шар, который отражается от бортов (сторон многоугольника) по закону "угол падения равен углу отражения". Докажите, что он никогда не вернётся в вершину A.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105179

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Деление с остатком ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Назовём натуральное число разрешённым, если оно имеет не более 20 различных простых делителей. В начальный момент имеется куча из 2004! камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некоторое разрешённое количество камней (возможно, каждый раз новое). Побеждает тот, кто заберёт последние камни. Кто выигрывает при правильной игре?

Прислать комментарий     Решение

Задача 108106

Темы:   [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ]
[ Медиана делит площадь пополам ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Диаметр, основные свойства ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Треугольник ABC с острым углом  ∠A = α  вписан в окружность. Её диаметр, проходящий через основание высоты треугольника, проведённой из вершины B, делит треугольник ABC на две части одинаковой площади. Найдите угол B.

Прислать комментарий     Решение

Задача 105180

Темы:   [ Кооперативные алгоритмы ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Перед экстрасенсом лежит колода из 36 карт рубашкой вверх (4 масти, по 9 карт каждой масти). Он называет масть верхней карты, после чего карту открывают и показывают ему. После этого экстрасенс называет масть следующей карты и т. д. Задача экстрасенса – угадать масть как можно большее число раз. Рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит, в каком из двух положений лежит верхняя карта. Помощник экстрасенса знает порядок карт в колоде, не может менять его, но может расположить рубашку каждой из карт тем или иным образом. Мог ли экстрасенс так договориться с помощником, когда тот ещё не знал порядок карт, чтобы обеспечить угадывание масти не менее чем
  a) 19 карт;
  б) 23 карт?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .