Задача 108092

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Автор: Маркелов С.В.

В треугольнике ABC сторона AC наименьшая. На сторонах AB и CB взяты точки K и L соответственно, причём  KA = AC = CL.  Пусть M – точка пересечения AL и KC, а I – центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

Решение

AI и CI – биссектрисы углов A и C. Пусть прямые AI и CK пересекаются в точке X, а прямые CI и AL – в точке Y. Поскольку треугольник KAC – равнобедренный  (AC = AK  по условию задачи), то его биссектриса AX является высотой. Значит, AX – высота треугольника AMC. Аналогично CY – высота этого треугольника. Итак, I – точка пересечения высот треугольника AMC. Следовательно,  MI ⊥ AC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6212
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	67
Год	2004
вариант
Класс	8
задача
Номер	3