Версия для печати
Убрать все задачи

---

Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.
  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

   Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 115864  (#10.8)

Темы:   [ Основные свойства и определения правильных многогранников ] [ Сферы (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Можно ли вписать октаэдр в додекаэдр так, чтобы каждая вершина октаэдра была вершиной додекаэдра?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115863  (#10.7)

Темы:   [ Теорема косинусов ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115862  (#10.6)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральное проектирование ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Стюарта ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115861  (#10.5)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В треугольник ABC вписан ромб CKLN так, что точка L лежит на стороне AB, точка N – на стороне AC, точка K – на стороне BC. Пусть O₁, O₂ и O – центры описанных окружностей треугольников ACL, BCL и ABC соответственно. Пусть P – точка пересечения описанных окружностей треугольников ANL и BKL, отличная от L. Докажите, что точки O₁, O₂, O и P лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115860  (#10.4)

Темы:   [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ] [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10,11

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 8]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями