Задача 115862

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Центральное проектирование ] [ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Теорема Стюарта ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

В треугольнике ABC  M – точка пересечения медиан, I – центр вписанной окружности, A₁ и B₁ – точки касания этой окружности со сторонами BC и AC, G – точка пересечения прямых AA₁ и BB₁. Докажите, что угол CGI прямой тогда и только тогда, когда   GM || AB.

Решение 1

  Пусть C₁ – точка касания вписанной окружности со стороной AB, C₂ – вторая точка пересечения этой окружности с прямой CC₁. Тогда G лежит на отрезке CC₁. Существует центральная проекция, переводящая вписанную окружность в окружность, а G – в её центр. Треугольник ABC при этой проекции перейдёт в правильный, так что двойное отношение (CGC₁C₂) для любого треугольника такое же, как для правильного, то есть равно 3. Отсюда получаем цепочку равносильных утверждений:  ∠CGI = 90°;  G – середина C₁C₂;  CC₁ = 3CC₂;  CC₁ = 3GC₁;  GM || AB.

Решение 2

  Пусть  AC₁ = x,  BA₁ = y,  CB₁ = z.  По теореме Менелая     где  

  Теперь,   ∠IGC = 90°  ⇔   CI² – r² = GC² – C₁G²   ⇔  

  Но, по теореме Стюарта (см. задачу 54717)  

  Из этих двух равенств получаем, что     ⇔  z(z + m) = (z + 4m)(z – m)  ⇔  2zm = 4m²  ⇔ z = 2m  ⇔  k = ½,  что и требовалось.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2009
Класс
Класс	10
задача
Номер	10.6