ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78791
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Деление с остатком ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Доказать, что сумма цифр числа K не более чем в 8 раз превосходит сумму цифр числа 8K.
б) Для каких натуральных k существует такое положительное число ck, что  ck  для всех натуральных N? Найдите наибольшее подходящее значение ck.


Решение

  Пусть S(N) – сумма цифр числа N. Нам будут нужны следующие свойства функции S(N):
    1)  S(A + B) ≤ S(A) + S(B);
    2)  S(A1 + A2 + ... + An) ≤ S(A1) + S(A2) + ... + S(An);
    3)  S(nA) ≤ nS(A);
    4)   S(AB) ≤ S(A)S(B);
  Чтобы убедиться в справедливости свойства 1), достаточно представить себе, что числа A и B складываются "столбиком". Свойство 2) получается из 1) индукцией. 3) – частный случай 2). Если представить себе, что A умножается на B "столбиком" и к каждой цифре числа В применить 3), то получится 4).

  а) Заметим, что  S(8·125) = S(1000) = 1.  Отсюда  S(N) = S(1000N) = S(125·8N) ≤ S(125)S(8N) = 8S(8N).

  б) То же рассуждение годится для любого числа  k = 2r5q.  Обозначим    и докажем, что  ck  для любого N (при  N = 2q5r  это неравенство превращается в равенство, поскольку  S(kN) = S(10r+q) = 1).  Для любого N     что и требовалось доказать.
  Докажем теперь, что для чисел k вида 2r5qQ, где Q взаимно просто с 10  (Q > 1),  отношение    может быть меньше любого заданного  ε > 0,  то есть требуемого положительного числа ck не существует.
  Согласно замечанию к задаче 73597 существует число вида  10m – 1  (состоящее из m девяток), делящееся на Q.
  Пусть  10m − 1 = QR  и n – любое натуральное число. Тогда  10mn − 1  – число, состоящее из mn девяток, – делится на Q и частное
Rn = R(10m(n–1) + 10m(n–2) + ... + 10m + 1).  Теперь заметим, что у числа  Q(Rn + 1) = QRn + Q = 10mn + Q – 1  сумма цифр при любом n равна S(Q), а сумма цифр числа  Rn + 1  не меньше  (n – 1)S(R).  Таким образом, выбрав n достаточно большим и взяв  N = Rn + 1,  мы получим, что  

Ответ

б) Только для  k = 2r5q,  при этом    .

Замечания

На Московской олимпиаде предлагался только п. а).

Источники и прецеденты использования

журнал
Название "Квант"
год
Год 1971
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М105
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 34
Год 1971
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .