Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 310]
Задача
78719
(#М1)
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
В стране Анчурии, где правит президент Мирафлорес, приблизилось время новых
президентских выборов. В стране ровно 20 миллионов избирателей, из которых
только один процент поддерживает Мирафлореса (регулярная армия Анчурии).
Мирафлорес, естественно, хочет быть избранным, но, с другой стороны, он хочет,
чтобы выборы были ``демократическими'' .
``Демократическим голосованием'' Мирафлорес называет вот что:
все избиратели разбиваются на равные группы;
каждая из этих групп вновь разбивается на некоторое количество равных групп,
причём большие группы могут разбиваться на разное количество меньших групп,
затем эти группы снова разбиваются и т.д. В самых мелких группах выбирают
представителя группы —
выборщика — для голосования в большей группе:
выборщики в этой большей группе выбирают выборщика для голосования в ещё
большей группе и т.д. Наконец, представители самых больших групп выбирают
президента. Мирафлорес делит избирателей на группы по своей воле и
инструктирует своих сторонников, как им голосовать. Сможет ли он так
организовать ``демократические'' выборы, чтобы его выбрали? (В каждой
группе выборщики выбирают своего представителя простым большинством. При
равенстве голосов побеждает оппозиция.)
Задача
73537
(#М2)
|
|
Сложность: 7
Классы: 10,11
|
Дана сфера
радиуса 1. На ней расположены равные окружности γ
0, γ
1, ..., γ
n радиуса r (n ≥ 3). Окружность γ0 касается всех окружностей γ
1, ..., γ
n; кроме того, касаются друг друга окружности γ
1 и γ
2, γ
2 и γ
3, ..., γ
n и γ1. При каких
n это возможно? Вычислите соответствующий
радиус r.
Задача
73538
(#М3)
|
|
Сложность: 8
Классы: 9,10,11
|
|
а) На рисунке слева плоскость покрыта квадратами пяти цветов. Центры квадратов одного и того же цвета расположены в вершинах сетки из единичных квадратов. При каком числе цветов возможно аналогичное заполнение плоскости?
б) На рисунке справа плоскость покрыта шестиугольниками семи цветов так, что центры шестиугольников одного и того же цвета образуют вершины решётки из одинаковых правильных треугольников. При каком числе цветов возможно аналогичное построение?
Примечание. В первой задаче количество цветов может равняться единице (все квадраты одного цвета) и двум (как на шахматной доске). Во второй задаче вы без труда найдёте решения с одним цветом и с тремя цветами. Желательно дать полное решение задач, то есть описать все раскраски, удовлетворяющие указанным условиям. Подумайте, например, существует ли во второй задаче решение с тринадцатью цветами?
|
|
Задача
54638
(#М4)
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дан отрезок AB. Найдите на плоскости множество таких точек C,
что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, равна
высоте, проведённой из вершины B.
Задача
73540
(#М5)
|
|
Сложность: 10
Классы: 9,10,11
|
Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят есть мороженое.
После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после
этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем
они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Доказать, что если
число посещений было к этому времени больше
1
, то оно не меньше числа
учащихся в школе.
Страница: 1
2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 310]
Фильтр
