ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 109761

Темы:   [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]
[ Иррациональные неравенства ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Докажите, что для любого натурального числа  n > 10000  найдётся такое натуральное число m, представимое в виде суммы двух квадратов, что
 0 < m – n < 3 .

Прислать комментарий     Решение

Задача 107998

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

В ящиках лежат камни. За один ход выбирается число k, затем камни в ящиках делятся на группы по k штук и остаток менее, чем из k штук. Оставляют по одному камню из каждой группы и весь остаток. Можно ли за пять ходов добиться, чтобы в ящиках осталось ровно по одному камню, если в каждом из них
  а) не более 460 камней;
  б) не более 461 камня?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109941

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Системы алгебраических неравенств ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Храмцов Д.

В последовательности натуральных чисел {an},  n = 1, 2, ...,  каждое натуральное число встречается хотя бы один раз, и для любых различных n и m выполнено неравенство     Докажите, что тогда  |an – n| < 2000000  для всех натуральных n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110197

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенство Коши ]
[ Монотонность и ограниченность ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Найдите все такие пары  (x, y)  натуральных чисел, что  x + y = an,  x² + y² = am  для некоторых натуральных a, n, m.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109602

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Тригонометрические неравенства ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .