Страница:
<< 11 12 13 14 15 16
17 >> [Всего задач: 81]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Брат и сестра делят треугольный торт так: он указывает точку на торте, а она проводит через эту точку прямолинейный разрез и выбирает себе кусок. Каждый хочет получить кусок как можно больше. Где брат должен поставить точку? Какую часть торта получит в этом случае каждый из них?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Внутри выпуклого многоугольника
M помещена окружность максимально возможного
радиуса
R (это значит, что внутри
M нельзя поместить окружность большего
радиуса). Известно, что внутри можно провернуть отрезок длины 1 на любой угол
(т.е. мы можем двигать единичный отрезок как твердый стержень по плоскости так,
чтобы он не вылезал за пределы многоугольника
M и при этом повернулся на
любой заданный угол). Докажите, что
R
1/3.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10
|
Пусть
a,
b,
c,
d — длины четырёх последовательных сторон четырёхугольника,
S — его площадь. Докажите неравенства:
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
|
|
|
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
|
Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника
A1A2...
A2008, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
A',
B',
C',
D',
E' — середины сторон выпуклого пятиугольника
ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников
ABCDE и
A'B'C'D'E' связаны
соотношением:
SA'B'C'D'E'
SABCDE.
Страница:
<< 11 12 13 14 15 16
17 >> [Всего задач: 81]
Фильтр
