Задача 111866

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Медиана делит площадь пополам ] [ Прямые и кривые, делящие фигуры на равновеликие части ] [ Неравенства с площадями ]

Сложность: 6 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Агаханов Н.Х.

Фокусник отгадывает площадь выпуклого 2008-угольника A₁A₂... A₂₀₀₈, находящегося за ширмой. Он называет две точки на периметре многоугольника; зрители отмечают эти точки, проводят через них прямую и сообщают фокуснику меньшую из двух площадей частей, на которые 2008-угольник разбивается этой прямой. При этом в качестве точки фокусник может назвать либо вершину, либо точку, делящую указанную им сторону в указанном им численном отношении. Докажите, что за 2006 вопросов фокусник сможет отгадать площадь многоугольника.

Решение

Обозначим A=A2008 . Диагонали, выходящие из вершины A , делят его на 2006 треугольников AA₁A₂ , AA2006A2007 . Пусть AM₁ , A M2006 – медианы этих треугольников. Покажем, что если фокусник назовет все пары точек (A, M_k) , k = 1,2,.., 2006 , то он сможет угадать площадь многоугольника. Обозначим через S_k площадь, называемую для прямой A M_k , а через 2T_k – площадь треугольника AA_kA_k+1 . Так как медиана делит треугольник на две равновеликих части, то S_k= T_k+2(T_k+1+..+T2006)) . При этом ясно, что S₁=T₁ , S2006=T2006 . Заметим, что фокуснику достаточно вычислить значения всех T_k . Пусть AL – прямая, делящая площадь многоугольника пополам. Заметим, что если отрезок AM_k по одну сторону от прямой AL , то фокуснику будут называть площадь многоугольника AA₁.. A_kM_k , а если по другую– то площадь оставшейся части. Поэтому до прямой AL значения S_k будут возрастать, а после– убывать. Таким образом, если S₁<..<S_n S_n+1>..>S2006 (может оказаться, что n=1 или n=2006 ), то при i=1,..,n-1 мы имеем S_i=2(T₁+..+T_i-1)+T_i , откуда легко вычислить T_i ; аналогично они вычисляются при i=2006,..,n+1 . Осталось вычислить T_n . Но S_n=2(T₁+..+T_n-1,T_n+1+..+T2006)+T_n , откуда вычисляется T_n .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2008
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	08.5.11.6