Каталог по темам

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 81]

Задача 58138

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S₁₂ $\ge$ $\sqrt{S_1S_2}$ , т.е. $\sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$ $\ge$ $\lambda_{1}^{}$ $\sqrt{S_1}$ + $\lambda_{2}^{}$ $\sqrt{S_2}$ (Брунн).

Прислать комментарий Решение

Задача 58139

Темы:	[	Сумма Минковского	]
Темы:	[	Неравенства с площадями	]

Сложность: 7
Классы: 9,10

а) Пусть M — выпуклый многоугольник, площадь которого равна S, а периметр равен P; D — круг радиуса R. Докажите, что площадь фигуры $\lambda_{1}^{}$ M + $\lambda_{2}^{}$ D равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S + $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ PR + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ $\displaystyle \pi$ R².

б) Докажите, что S $\le$ P²/4 $\pi$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 32076

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

a, b, c, d – стороны четырёхугольника (в любом порядке), S – его площадь. Докажите, что S ≤ ½ (ab + cd).

Прислать комментарий

Решение

Задача 54900

Темы:	[	Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними)	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC AC ≤ 3, BC ≤ 4, S_ABC ≥ 6. Найдите радиус его описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55236

Темы:	[	Неравенство Коши	]
	[	Площадь трапеции	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Четырехугольники (экстремальные свойства)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

При каком значении высоты прямоугольная трапеция с острым углом 30° и периметром 6 имеет наибольшую площадь?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 81]