ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 58135

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

Пусть A и B — фиксированные точки, $ \lambda$ и $ \mu$ — фиксированные числа. Выберем произвольную точку X и зададим точку P равенством $ \overrightarrow{XP}$ = $ \lambda$$ \overrightarrow{XA}$ + $ \mu$$ \overrightarrow{XB}$. Докажите, что положение точки P не зависит от выбора точки X тогда и только тогда, когда $ \lambda$ + $ \mu$ = 1. Докажите также, что в этом случае точка P лежит на прямой AB.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58136

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 5
Классы: 9

а) Докажите, что если M1 и M2 — выпуклые многоугольники, то $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 — выпуклый многоугольник, число сторон которого не превосходит суммы чисел сторон многоугольников M1 и M2.
б) Пусть P1 и P2 — периметры многоугольников M1 и M2. Докажите, что периметр многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равен $ \lambda_{1}^{}$P1 + $ \lambda_{2}^{}$P2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58140

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Свойства симметрии и центра симметрии ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Докажите, что выпуклый многоугольник имеет центр симметрии тогда и только тогда, когда его можно представить в виде суммы нескольких отрезков.
Прислать комментарий     Решение


Задача 58137

Тема:   [ Сумма Минковского ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S1 и S2 — площади многоугольников M1 и M2. Докажите, что площадь S($ \lambda_{1}^{}$,$ \lambda_{2}^{}$) многоугольника $ \lambda_{1}^{}$M1 + $ \lambda_{2}^{}$M2 равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$S1 + 2$\displaystyle \lambda_{1}^{}$$\displaystyle \lambda_{2}^{}$S12 + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$S2,

где S12 зависит только от M1 и M2.
Прислать комментарий     Решение

Задача 58138

Темы:   [ Сумма Минковского ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 7
Классы: 9,10

Докажите, что S12$ \ge$$ \sqrt{S_1S_2}$, т.е. $ \sqrt{S(\lambda_1,\lambda_2)}$$ \ge$$ \lambda_{1}^{}$$ \sqrt{S_1}$ + $ \lambda_{2}^{}$$ \sqrt{S_2}$ (Брунн).
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .